Hiperbola

Elipse

Parabola

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de: un punto fijo (el foco), y una línea fija (la directriz)

En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!).
Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea.
Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.

Nombres Estos son los nombres más importantes: la directriz y el foco (están explicados arriba) el eje de simetría (pasa por el foco, perpendicular a la directriz) el vértice (donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino entre el foco y la directriz.

Circunferencia

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad ocircunferencia goniométrica.

Linea Recta

lugares geometricos

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Ejemplos de lugares geométricos

Mediatriz

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7).

Ley del coseno

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
  c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
 b ² = a ² + c ² – 2 ac cos B or
 a ² = b ² + c ² – 2 bc cos A .

Ley del seno

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ecuaciones trigonométricas

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplos

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1

Identidades de ángulo doble y ángulo medio

Identidades de ángulo doble
Las identidades de ángulo doble (estas realmente son solo casos especiales de las fórmulas de Bhaskara Acharya, donde u = v )

Ejemplo:

Reescriba en una forma más simple usando una identidad trigonométrica:
2sin(5 p )cos(5 p )
Usando la fórmula de ángulo doble para el seno, donde

Aplicando la fórmula, obtenemos

Identidades de reducción de potencias

Identidades de ángulo medio

Ejemplo:

Determine el valor correcto de cos15° .

Suma y resta de angulos

Curvas sin uso ideal

En matemáticas, se entiende por sinusoide la función seno o la curva que la representa, en general todos los gráficos de ondas se llaman sinusoides. La sinusoide puede ser descrita por la siguiente fórmula:

O también

donde

• T es el período de oscilación;

O

donde

• ω es la velocidad angular o pulso angular; ω = 2πf.

Obsérvese que el coseno, o cualquier combinación lineal de seno y coseno con la misma frecuencia, se pueden transformar en una sinusoide simple y viceversa:

siendo A² = M² + N² y .

Gráfica de las funciones trigonométricas

Ángulo de referencia

Digamos que θ  es un ángulo de ningún cuadrante en posición estándar. Su ángulo de referencia es el ángulo agudo a formado por el lado terminal de θ y el eje horizontal.

      Cuadrante I:  El ángulo dado y el ángulo de referencia son el mismo ángulo.

        α = θ
     
      Cuadrante II:  α = π – θ (radianes)
        α  = 180°– θ (grados)
     
      Cuadrante III: α  =  θ – π (radianes)
         α = θ – 180° (grados)
     
      Cuadrante IV:  α = 2 π – θ (radianes)
   α = 360° – θ   (grados)
     

Función circular

En topología y en particular en el cálculo y aritmética cual significado sirve por referir tal, una función circular matemática de dos sentidos en una variedad diferenciable ${\displaystyle M}$, es una función escalar ${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$ cuyos puntos críticos son un enlace, es decir, una unión disjunta de componentes conexos, cada uno siendo homeomorfos al círculo ${\displaystyle S^{1}}$.
Por ejemplo, sea ${\displaystyle M}$ el toro. Sea ${\displaystyle K=]0,2\pi [\times ]0,2\pi [}$ entonces el mapeo ${\displaystyle X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}}$ dado por

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

es una parametrización para casi todo el toro. Mediante la proyección ${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$ obtenemos ${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} }}$ cuyos puntos críticos están determinados por

${\displaystyle \nabla G(\theta ,\phi )=({\partial G \over \partial \theta },{\partial G \over \partial \phi })(\theta ,\phi )=(0,0)\,}$

si y sólo si ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$

 

Estos dos valores para ${\displaystyle \theta }$ dan los conjuntos críticos

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

que representan dos círculos extremos para el toro.
Observe que el Hessiano para esta función es

${\displaystyle {\rm {Hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

el cual se revela a sí mismo de ${\displaystyle {\rm {rankHess}}(G)=1}$ en los círculos de arriba, determinando que los puntos críticos sean degenerados, esto es, mostrando que los puntos críticos no están aislados.